I/Objectifs :

* Etudier les paramètres du mouvement du centre d'inertie d'une balle lancée dans le champ de pesanteur avec une vitesse initiale.

II/Acquisition :

A partir du dossier "REGRESSI" lancer "REGAVI" .

III/Equation de la trajectoire :

*Activer le fenêtre "GRAPHE " si elle ne l'est pas

Q2)Quelle est l'altitude maximale Y_F atteinte par le balle ou flèche ?Quelle est la valeur numérique de l'abscisse X_F correspondante ?

Q3)Quelle est l'abscisse X_D du point D de la courbe (autre que l'origine) pour lequel Y_D = 0 ?

IV/Etude des "mouvements projetés" du centre d'inertie de la balle :

a)notion de mouvement projeté :

b)Equation horaire de M_X ou x(t) :

c)Equation horaire de M_Y ou y(t)

d)Vitesse de M_Y ou v_Y(t)

* M_X a un mouvement uniforme car sa vitesse est constante ou x(t) est une fonction affine du temps

* M_Y a un mouvelent uniformément varié car sa vitesse est une fonction affine du temps

V/Les limites de la méthode d'Euler :

a)Interprétation géométrique de la méthode d'Euler :

v_i = v_i-1 + a_i-1* Dt ou v(t_j) = v(t_{j - 1}) +a(t_j-1) * Dt

y_j = y_j-1 + v_j-1 * Dt ou y(t_j) = y(t_j-1) + v(t_j-1) * Dt (1)

Intéressons nous à la seconde égalité qui permet de passer de la vitesse à la position . Sur la figure ci-dessous est représentée la fonction y(t) et soit P_j-1 un point de cette courbe :

P_j-1 est dy/dt à l'instant t_j-1 , c'est à dire v(t_j-1) . L'équation de T est telle que :

y - y(t_j-1) = v(t_j-1)*(t-t_j-1).

Soit le point P_j de cette tangente tel que Dt= t_j-t_j-1 . Les coordonnées (t_j, y_j) du point P_j satisfont par conséquent à la relation :

y(t_j) - y(t_j-1) = v(t_j-1)*Dt.

Nous retrouvons finalement la relation (1) écrite plus haut . Autrement dit , la méthode d'Euler permet de passer de P_j-1 à P_j .

Si P_j est trop "éloigné" de Q , il est évident que nous avons dans ces conditions une "mauvaise" intégration . Le schéma permet de se rendre compte que cet "éloignement " risque d'être d'autant plus important que le pas d'ntégration Dt est "grand" .

l'équation horaire x_e(t) - courbe rouge - obtenue par intégration numérique par la méthode d'Euler

2- y(t) [ courbe bleue] et y_e(t) [courbe rouge]

y_e(x) : trajectoire obtenue par intégration .

* x_e(t)

* y_e(t)

* y_e(x)

$F$3 = Dt ; $F$4 = - g (champ de pesanteur)

VI/Bien viser !

Ouvrir le dossier Logiciel et lancer le logiciel "MOVE" .

Q9)Lancez le boulet pour qu'il atteigne la cible . Notez les valeurs de a et V₀ .

1)y(x) = c x² + bx + c

c= -2,5 m^-1 ; b = 1,7 et c=0,005 m

2) x_F= 35 cm ; y_F = 29,6 cm .

x_F se calcule en écrivant que y(x) est extrêmale en F et par conséquent dy/dx= 0 . On reporte ensuite x_F dans l'équation y(x) pour en déduire y_F .

Remarque : Nous avons aussi en F dy/dx = v_y =0 : composante verticale du vecteur vitesse nulle .

3) x_D = 69,4cm ; y_D= 0

On calcule x_D en résolvant l'équation y(x)=0 . Une solution correspond à x_D .

a= 1,44 m.s^-1

5)y(t) = ct² +bt+a

c= -5,04 m.s^-2 ; b= 2,4 m/s et a= 0,008 m (valeur pratiquement nulle aux erreurs de pointage près) .

a = -9,9 m.s^-2 b= 2,4 m.s^-1 .

7)Lorsque le pas Dt augmente les courbes théoriques s'écartent des courbes expérimentales , sauf dans le cas de la fonction affine x(t) .

La méthode d'Euler est en général d'autant plus précise que le pas Dt est petit .

8)La cellule E9 correspond à t₉ = t₈ + Dt , G9 à : vye(t9) = vye(t8) - g * Dt ou v_y,j+1 = v_y,j + a_y,j*Dt (formule d'Euler).

La cellule I9 correspond à ye(t9) = ye(t8) + vy(t8)*Dt ou y_j+1 = y_j + v_y,j * Dt (formule d'Euler)

9)Soient x_D et y_D les coordonnées de la cible . On peut par ailleurs montrer que l'équation de la trajectoire du boulet d'écrit ;

Le simulation permet de constater que pour une cible donnée , il existe plusieurs couples (v₀,a) qui permettent d'atteindre la cible .

Exemples :v₀=80 m/s et a= 30 ° ou v₀= 85 m/s et a= 60°