TP 10 - SATELLITES

I/Objectifs :

* Connaître les trois lois de Kepler .

* Construire la trajectoire de Pluton par la méthode d'Euler .

* Comparer les caractéristiques du vecteur accélération suivant que la trajectoire du centre d'inertie du satellite est un cercle ou une ellipse .

II/Les lois de Kepler :

A partir du Dossier "Travaux Pratiques" situé sur le bureau de l'ordinateur , ouvrir le dossier "Satellites" et lancer le fichier "Kepler" .

III/La trajectoire de Pluton :

a)La force gravitationnelle :

Etant données 2 deux m_A et m_B à symétrie sphérique (les masses sont sphériques et la masse volumique ne dépend que de la distance du point considéré au centre de la sphère) : ces masses s'attirent réciproquement :

: vecteur unitaire

G = 6,67 10^-11 S.I. : constante de gravitation universelle .

Les deux forces sont opposées (principe de l'action et de la réaction ou troisième loi de Newton)

Le mouvement de Pluton sera étudié dans le plan Oxy , plan de sa trajectoire (voisin de l'écliptique) .

Pluton est uniquement soumise à la force gravitationnelle :

D'après la deuxième loi de Newton , nous pouvons écrire : , d'où finalement :

avec r=OP = (distance soleil-Pluton) , x et y sont les coordonnées du vecteur .

Si nous projetons cette relation vectorielle sur les axes , nous obtenons :

La valeur de G donnée plus haut est celle du système international . Si on exprime les distances en UA , les masses en kg , les accélérations en UA.jour^-2 , les vitesses en UA.jour^-1, on peut montrer que les deux relations écrites ci-dessus s'écrivent , sachant que m_S = 1,98 10³⁰ kg :

(1) et (2)

La méthode d'Euler va nous permettre d'intégrer numériquement ces deux équations différentielles .

A partir du dossier "Satellites" lancer le fichier "pluton " pluton03 .

ligne 5 : A5 : date dans notre calendrier

B5 : date origine pour l'intégration t=0

C5 : abscisse x de Pluton à t=0

D5 : ordonnée y de Pluton à t=0

E5 : composante du vecteur vitesse de Pluton suivant Ox à t=0

F5 : composante du vecteur vitesse de Pluton suivant Oy à t=0 .

G5 : composante du vecteur accélération de Pluton suivant Ox à t=0 , calculée à partir de la relation (1) .

H5 :composante du vecteur accélération de Pluton suivant Oy à t=0 , calculée à partir de la relation (2) .

I5 : calcul de r à t=0 à partir de x et y à t=0 .

Q8) Activer la cellule B6 et écrivez sur votre copie la formule qui y est écrite . Quelle est l'opération qui y est faite ?

Q11)Modifier (on change la valeur et on appuie sur la touche "enter" du clavier) le pas d'intégration (cellule C3) en choisissant différentes valeurs :50, 100 et 150 par exemple . Conclure . Que penser de la méthode d'Euler ?

IV/Trajectoire elliptique et trajectoire circulaire :

a)Trajectoire elliptique de Pluton :

Fermer Excel ( Fichier/quitter ...... sans sauver !)

A partir du dossier "Satellites " , lancer le fichier "Pluton Regressi " . Ce fichier contient les résultats du fichier Excel précédent .

Dans la fenêtre graphique de Regressi est représentée la trajectoire de Pluton avec les vecteurs vitesse et accélération .

Q12)Le mouvement de Pluton sur sa trajectoire est-il uniforme ? Justifiez votre réponse .

L'origine O du repère coïncide avec le centre du soleil :

Q13)Que peut-on dire de la direction du vecteur accélération à différents instants ? Comparez cette direction à celle de la force gravitationnelle . Cette observation est-elle cohérente avec la seconde loi de Newton ?.

Nous allons simuler un satellite dont le mouvement serait circulaire uniforme .

Sans quitter Regressi :

Dans la fenêtre "EXPRESSIONS" écrire les deux relations suivantes :

x=40*cos(2*3.14*t)

y=40*sin(2*3.14*t)

puis Mise à jour

V/Questions complémentaires :

Q18)Comment construire une ellipse avec deux pointes , un crayon et une ficelle .

TP Satellites : correction

1)Johannes Kepler est un astronome allemend, qui établit que les orbites planétaires n'étaient pas circulaires, mais elliptiques. Kepler décrivait le mouvement des planètes à partir de trois lois.

2)première loi de Kepler :L'orbite de chaque planète est une ellipse et le Soleil occupe un foyer.Le soleil est au foyer de l'ellipse .

3)

1 UA = 1,49597870 · 10¹¹ m = 150 millions de kilomètres . L' UA est définie comme la distance moyenne entre la terre et le soleil

4)Seconde loi de Kepler :La ligne joignant la planète au soleil balaye des secteurs égaux dans des intervalles égaux de temps.

les aires balayées par le rayon vecteur pendant des intervalles de temps égaux (ici 0,225 unités de temps ).sont égales .

 5)Troisième loi de Kepler :Les carrés des périodes des planètes ( une période T représentant la durée d’une révolution complète autour du Soleil ) sont proportionnels aux cubes du demi grand axe de l'ellipse ( ou plus simplement du rayon r de la trajectoire si on néglige l'excentricité de l'orbite ). Plus une planète est loin du Soleil , plus elle met de temps pour parcourir son orbite.

T_mercure = 88 jours

T_venus = 224 jours

T_terre = 365 jours

6)

De la même manière , on trouve : a_Venus = 0,72 UA

7)Les lois de Kepler peuvent être généralisées aux mouvements des satellites .

8)Dans la cellule B6 se trouve la formule : "=B5+$C$3 " . Or la cellule C3 contient le pas d'intégration Dt . La formule correspond à t₆ = t₅ + Dt .

9)C6 contient la formule :"=C5+E5*$C$3 " , ce qui correspond à x₁=x₀ + v_x,0 * Dt , de la forme x_j+1=x_j+ v_j*Dt (formule d'Euler)

E6 contient la formule "=E5+G5*$C$3" , ce qui correspond à v_x,1 = v_x,0 + a_x,0 * Dt , de la forme v_j+1=v_j+a_j*Dt (formule d'Euler).

De la même façon , on retrouve les formules d'Euler dans les autres cellules .

10)

11) Courbe obtenue avec Dt=100 jours :

Il est clair que la courbe obtenue par la méthode d'Euler n'est pas satisfaisante . La méthode d'Euler "fonctionne" bien en général, lorsque le pas est "petit".

12)La norme du vecteur vitesse n'est pas constante : Pluton n'a donc pas un mouvement uniforme sur sa trajectoire .

13)Le vecteur accélèration est centripète : quel que soit la position de la planète , la direction du vecteur accélération passe par le foyer de l'ellipse (centre du soleil).

La force gravitationnelle exercée par le soleil sur Pluton a donc la même direction que le vecteur accélération , ce qui est tout à fait conforme à la seconde loi de Newton puisque (la force gravitationnelle est la seule force extérieure appliquée à Pluton ).

14)Sur le graphique , on constate que la norme du vecteur accélérétion n'est pas constante .

15)Avec la trajectoire circulaire , la norme du vecteur vitesse est constante : il s'agit donc bien d'un mouvement circulaire uniforme . Par contre , le vecteur vitesse n'est pas constant car sa direction change au cours du mouvement de Pluton .

16)L'accélération est centripète comme pour le mouvement élliptique . Dans le cas du mouvement circulaire uniforme , le "support" du vecteur accélération passe par le centre du cercle .

17)Dans le cas du mouvement circulaire uniforme , la norme du vecteur accélération est constante .

18)Pour construire l'ellipse , on fixe les deux pointes en F et F' auxquelles on attache les deux extrêmités de la ficelle . Avec le crayon , on maintient la ficelle tendue et nous pouvons ainsi tracer l'ellipse (l'ellipse est l'ensemble des points M telle que MF+MF'= constante ).

19)

a: demi-grand axe

b: demi-petit axe

c = OF = OF' : demi-distance focale

e = c/a : excentricité de l'ellipse

De plus , on peut montrer que c2 = a2 - b2

20)Le cercle est une ellipse particulière d'excentricité nulle : e=c/a = 0/R = 0