I/Eude d'un oscillateur mécanique : (11 points)

On se propose d'étudier les oscillations d'un système <<masse-ressort>> au cours du temps . On dispose pour l'expérience de deux resorts identiques à spires non jointives, de raideur k , de longueur à vide L₀ , de masse négligeable, et d'un objet A de masse M .

On prendra g= 10 m.s^-2 .

Afin de déterminer la raideur k d'un des ressorts, on fixe le ressort verticalement et on accroche successivement plusieurs objets de masses m connues . On mesur la longueur L du ressort . Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

a)Faire un schéma légendé de l'expérience .

On choisit d'étudier le système suivant un axe Oy vertical , orienté vers le vas , de vecteur unitaire . L'origine O du repère est choisie au niveau du crochet de fixation (supérieur) du ressort .

b)Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le système <<objet de masse m>>, et donner toutes leurs caractéristiques en fonction de m,g,L,L₀ et

c)Enoncer la première loi de Newton (ou principe d'inertie)

d)Donner la relation qui lie m,g,L, k et L₀ .

e)Traver la courbe m=f(L) sur votre copie . On veillera à ce que le graphique soit suffisamment clair .

f)En déduire la longueur à vide L₀ du ressort ainsi que la raideur k du ressort étudié .

On réalise le montage suivant :

L'objet A de masse M glisse sans frottements sur un banc à coussin d'air. Il est reliée de part et d'autre aux deux ressorts. Les deux autres extrêmités du ressort sont fixées .

On peut montrer que tout se passe comme si l'objet A était relié horizontalement à un unique ressort de raideur K=2k .

Un axe horizontal (Ox) permet de repérer la position x de l'objet A . Un capteur détermine la position x de la masse M au cours du temps . On écarte l'objet A de sa position d'équilibre 0 , et on le lâche sans vitesse initiale . L'objet A oscille autour de sa position d'équilibre .

Après deux oscillations , on lance l'acquisition des mesures par une interface reliée à un ordinateur . On obtient la courbe suivante :

a)Déterminer à l'aide du graphique :

a-1 : la période propre des oscillations

a-2 :l'amplitude x_m des oscillations du système masse-ressort .

a-3 : l'élongation x₀=x(0) à la date t=0 .

b)Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui correspond à l'expresssion x(t) (en cm) ?

1-

2-

3-

4-

5 -

a)On considère que l'objet A est attaché à un seul ressort de raideur K=2k . Faire un schéma et représenter les forces qui s'exercent sur le système lorsqu'il n'est pas à l'équilibre .

b)Etablir l'équation différentielle satisfaite par x .

c)Donner l'expression de la période propre T₀ des oscillations . Justifiez votre réponse à partir de l'équation différentielle .

e)Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique E_p,el en fonction de K et x

f)Rappeler l'expression de l'énergie cinétique E_c en fonction de M et v_x= dx/dt .

g)Rappeler l'expression de l'énergie mécanique E_m en fonction de K , x et M

h)Les courbes E_p,el(t) , E_c(t) et E_m(t) sont tracées à l'aide d'un logiciel . Identifier les courbes B,C et D sur le document ci-dessous

i)Calculer E_m .

j)Déterminer la valeur de la vitesse maximale v_max de l'objet A .

II/ Suivi cinétique d'une réaction d'hydrolyse : (9 points)

Masse molaire du méthanoate d'éthyle : 74 g.mol^-1 .

Un binôme de TP doit suivre le protocole suivant : <<On a préalablement préparé 1 litre de solution de méthanoate d'éthyle en en dissolvant 50 g dans de l'eau glacée . Cette solution sera utilisée par toute la classe . Chaque binôme en prélèvera 100 mL .

Répartir ce prélèvement en quantités égales dans 10 tubes à essai, que l'on surmontera d'un réfigérant à air . Placer ces tubes à essai dans un bain marie thermostaté à 50 °C .

Toutes les 10 minutes , prendre un tube à essai ; le placer dans un bain d'eau glacée puis titrer l'acide formé par une solution de soude de concentration C_b=0,5 mol.L^-1 , en présence d'un indicateur coloré que vous choisirez astucieusement dans le tableau ci-après :

Relever la valeur de chacun des volumes de soude versée à l'équivalence V_eq et les disposer dans un tableau .>>

Le binôme obtient les résultats suivants :

1/Donnez la formule topologique du méthanoate d'éthyle .

2/Ecrire l'équation chimique de la réaction d'hydrolyse du méthanoate d'éthyle . Nommez les produits obtenus .

3/-a : Ecrire la réaction de titrage de l'acide par la soude .

b :Pourquoi place t-on chaque tube à essais dans un bain d'eau glacée avant le titrage de l'acide formé ?

c:Quel indicateur doit-on choisir pour effectuer le dosage de l'acide formé ?

4/-a:Exprimer la quantité de matière d'acide titré en fonction de V_eq , volume de soude versé à l'équivalence .

b:En déduire , dans un tableau , la valeur de l'avancement x de la réaction d'hydrolyse à chaque instant t dans un tube à essais .

5/-a: Représenter sur votre copie par un graphe x=f(t) , l'évolution de l'avancement au cours du temps .

b: Définir et calculer en mol.L^-1.s^-1 la vitesse de la réaction d'hydrolyse à l'instant t= 20 mn .

c:quelle est la valeur du rendement de la réaction et pourquoi est-il si élevé ?

d:Comment aurait-on pu obtenir le même rendement , mais plus rapidement ?

I/Oscillateur mécanique :

1/-a :

1/-b :

La masse m est soumise à deux forces :

* une action à distance : le poids

* une action de contact : la tension du ressort.

La tension T est proportionnelle à l'allongement du ressort .

Nous pouvons écrire :

c: principe d'inertie : Relativement à un repère galiléen ,si un système est isolé ou pseudo-isolé , son centre d'inertie persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme .

d:La masse m étant au repos (état d'équilibre) :  et donc : .Cette dernière relation conduit nécessairement à : mg=k(L-L₀)

e)

f)*La longueur L₀ du ressort à vide est égale à la longueur L du ressort lorsqu'aucune masse (m=0) n'y est suspendue . Autrement dit pour m=f(L)=0 , L=L₀ . La lecture graphique donne L₀=20 cm

*La relation établie précédemment fait apparaître que :

. Le coefficient directeur de la fonction affine m=f(L) tracée précedemment est donc égal à k/g

Pour déterminer ce coefficient directeur de la droite précedemment tracée , on détermine les coordonnées de deux points (autres que les points de mesures) de la droite :

L_A = 25 cm m_A = 28 g

L_B =35 cm m_B =75 g

Le coefficient directeur est

et donc k = a*g =5 N.m^-1 .

2/Etude expérimentale :

a)On mesure directement sur le graphique :

1- la période T₀ = 1 s

2-l'amplitude : par mesure directe , la courbe étant centrée ou par mesure crête à crête x_m = (x_max-x_min)/2 = 12 cm

3-l'élongation à la date t=0 : x₀= 10 cm

L'enregistrement montre bien que x(0) est différent de x_m : la forme (1) est donc aussi à exclure.

Reste la forme (3) dont on vérifie que x(0)=12*cos(0,5)= 10,5 cm .

Ainsi en cm .

3/Etude théorique :

a)

La masse M est soumise à trois forces :

* Deux forces de contact et (action de contact sans frottement , donc perpendiculaire aux surfaces en contact).

* une action à distance :

b)D'après la seconde loi de Newton , dans le repère terrestre , galiléen , nous pouvons écrire :

étant l'accélération du centre d'inertie .

En projetant la relation vectorielle sur l'axe Ox , nous obtenons : T_x+P_x+R_x = Ma_x et puisque R_x=P_x=0

T_x=Ma_X

Or la tension est proportionnelle à l'allongement du ressort , soit en choisissant correctement l'origine 0 de l'axe Ox ( O coïncide avec la position de G lorsque le ressort est au repos) : T_x= -Kx

Et donc finalement :

d)Application numérique :

e)

f)

g)L'énergie mécanique est

Remarque : On ne prend pas en compte l'énergie potentielle de pesanteur qui est constante ici (oscillateur horizontal) .

h)E_p,el varie comme x² et donc en se reportant au graphe de x(t) , nous pouvons associer E_p,el à la courbe B .

Il est clair que la courbe D est la somme des deux autres , ce qui correspond à E_m=E_c+E_p,el . Le système est conservatif puisque l'énergie mécanique est constante .:Autrement la courbe D est à associer à l'énergie mécanique de l'oscillateur .

Finalement , la courbe C est à associer à l'énergie cinétique E_c .

i)Pn remarque que l'orsque l'énergie potentielle élastique est maximale (c'est à dire E_p,el,max=1/2Kx_m²), l'énergie cinétique est nulle . Et par conséquent E_m=E_p,el,max= 0,5*10*0,12²=0,072 J=72 mJ

j)Quand l'énergie potentielle est nulle , l'énergie cinétique est maximale et donc : E_m= 1/2*Mv_max² .

II/Réaction d'hydrolyse :

1)méthanoate d'éthyle :

2)Equation de la réaction d'hydrolyse :

3)Réaction de titrage :

a : HCOOH + HO^- -----> HCOO^- + H₂O

b:Le refroisissement du milieu réactionnel "bloque" la réaction d'hydrolyse (la température est un facteur cinétique), ce qui laisse le temps d'effectuer le titrage de l'acide de façon à ce que la mesure porte sur l'instant auquel le tube a été retiré du bain-marie .

c:La réaction de tirage met en jeu un acide qui réagit partiellement avec l'eau (acide faible) et une base qui réagit totalement avec l'eau (base forte) . Dans ce cas , l'équivalence a lieu en milieu basique (Tout l'acide a alors été transfomé en ions méthanoate et l'ion méthanoate est une base). L'indicateur le mieux adapté pour effectuer le titrage est donc la phénolphtaléine dont la zone de virage est en milieu basique .

4/-a : L'équivalence est atteinte lorsque les réactifs ont été mélangés dans les proportions stoechiométriques de l'équation de la réaction de titrage , ce qui signifie ici :

n_{HCOOH présents} = n_HO- versés à l'équivalence

ou n_{HCOOH présents} = C_b*V_eq = 0,5*V_eq (n en mol , C_b en mol/L et V_eq en L)

b:Pour la réaction d'hydrolyse , il est clair que : x=n_{HCOOH présents}

5/-a:

b: la vitesse de la réaction d'hydrolyse est

A t=20 mn , dx/dt est égal au coefficient directeur a de la tangente à x(t) à cet instant:

Le volume de la solution dans un tube est : V_sol = 10 mL et donc : v = a/10.10^-3 = 1,1 10^-4 mol.L^-1s^-1

c:La quantité d'ester introduit correspondant à un tube à essai est : n₀ =(50/100)/M =0,5/74=6,75.10^-3 mol . C'est aussi la quantité d'acide qu'on obtiendrait si la réaction était totale .

Lorsque la limite d'hydrolyse est atteinte , on obtient en réalité n = 5,7.10^-3 mol . Le rendement de la réaction d'hydrolyse est par conséquent r= n/n₀ = 0,85 = 85 %

Le rendement est beaucoup plus élevé qu'avec un mélange équimolaire (66 %) , car avec un excès d'eau (55 mol d'eau pour 50/74=0,67 mol d'ester) l'équilibre est déplacé dans le sens de la formation de l'ester .