SPE SPC - ACOUSTIQUE MUSICALE : LES GAMMES

I/Objectifs :

- comprendre la construction d’une gamme de notes

- Etudier la gamme naturelle de Pythagore et la gamme tempérée de JS Bach.

II/ - Construction d'une gamme :

1/Définitions

-On appelle intervalle entre deux notes le rapport de leur fréquence (hauteur). Le rapport 3/2 est jugé agréable à l'oreille: il est dit consonant, alors que le rapport 7 est considéré comme dissonant.

-Une octave est un intervalle de valeur égal à 2 : une note est à l'octave d'une autre si sa fréquence est deux fois plus grande. Par exemple, la note La₄ à 880 Hz est à l'octave de la note La₃ à 440 Hz.

-Une gamme est l'ensemble des notes comprises dans une octave. Construire une gamme consiste à choisir et ranger une série de notes, comprises à l'intérieur d'une octave ayant entre-elles des propriétés de consonance (des notes "qui s'aiment " comme le disait Mozart enfant).

2/Gammes naturelle et tempérée :

Jusqu'au XVIIe siècle, les gammes utilisées en Occident étaient des "gammes naturelles". Elles étaient construites à partir de sons harmoniques émis par une corde tendue. L'une des premières gammes naturelles est la gamme de Pythagore utilisée dans la Grèce Antique. De nombreuses gammes naturelles ont été utilisées mais elles présentaient toutes un inconvénient majeur: l'intervalle entre deux notes d'une octave n'est pas constant. On ne peut donc pas modifier d'un même intervalle la fréquence de toutes les notes d'une œuvre musicale pour la transposer dans une tonalité différente.

A la fin du XVIIe siècle, une gamme se rapprochant de la gamme naturelle a été construite: la gamme tempérée. Les intervalles de cette gamme sont constants et les petits défauts de justesse de cette gamme sont compensés par une grande facilité d'utilisation.

III/ La gamme naturelle de Pythagore

a)Construction de la gamme

La gamme de Pythagore a été utilisée de l'antiquité jusqu'au 16ème siècle et, contrairement à ce que laisse penser son nom, elle n'a pas été créée par Pythagore mais par ses disciples.

Son principe est basé sur une succession de quintes, la première harmonique entendue lorsque l'on joue une note. 

*Si l'on part d'une fondamentale DO que nous prenons comme unité de fréquence, la première quinte a pour fréquence 3/2.

* Pour définir une nouvelle note, nous allons prendre la quinte de la note trouvée, sa fréquence est 3/2*3/2 = 9/4 qui, normalisée (ramenée dans l'intervalle [1;2]) donne 9/4*1/2=9/8 =(3²)/(2³)

*En prenant la quinte de la nouvelle note nous trouvons (3/2)³= 27/8 qui, normalisée donne 27/16 =

3³/2⁴.

*La quinte suivante a pour fréquence (3⁴)/(2⁴)=81/16 qui normalisée  donne 81/32 = 3⁴/2⁵.

A ce niveau, nous avons 5 notes assez régulièrement réparties et nous pourrions nous arrêter. Nous avons obtenu la gamme pentatonique majeure qui est utilisée en jazz sous sa forme tempérée, en particulier dans le "blues".

*La quinte suivante a pour fréquence (3⁵)/(2⁵) = 243/32 qui normalisée donne  (3⁵)/(2⁶) .

*Nous avons maintenant 6 notes et, curieusement, la 7ème note n'est pas celle qui serait définie par la quinte suivante et qui se placerait pourtant dans l'intervalle un peu plus grand entre la 1ère et la 4ème quinte. Elle est calculée sur le fait que si DO est en harmonie avec sa quinte, il est aussi en harmonie avec la note dont elle est la quinte et qui a pour fréquence  2/3  car  1=(3/2)*(2/3) ce qui donne 4/3  [1;2].

*Nous avons maintenant les 7 notes de la gamme majeure de Pythagore. Pour revenir à la notation traditionnelle nous allons les appeler Do, Ré, Mi ...

b) Organisation de la gamme

Le rapport des notes successives du cycle des 12 quintes est donc en partant de 1 :

Quintes	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Rapports	1	3/2	32/22	33/23	34/24	35/25	36/26	37/27	38/28	39/29	310/210	311/211	312/212
note	do	do#	ré	ré#	mi	fa	fa#	sol	sol#	la	la#	si	do
fréquence (Hz)- do3	260,74	278,44	293,33	309,03	330,00	347,65	371,25	391,11	417,66	440,00	463,54	495,00	521,48

Calculons les rapports de fréquences entre notes successives : 

Nous n'avons que des rapports de 9/8 (tons pythagoriciens) et des rapports de 256/243 (demi-tons pythagoriciens) que nous retrouvons dans l'ordre que nous connaissons dans notre gamme actuelle : 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton.

On peut tout de même faire une remarque, le ton est un peu supérieur à la succession de deux demi-tons.

Justifions cette affirmation par un calcul, pas si simple que cela et qui montre la difficulté à travailler avec des notions où seuls les rapports entre les nombres importent.

Si nous allons d'une note A à une note B par un demi-ton puis de la note B vers la note C par un demi-ton  nous avons : 

qui est un rapport un peu plus grand que 1,1099

La construction d’une telle gamme montre toutefois l’impossibilité de découper plusieurs octaves en quintes : le cycle des quintes ne se referme pas, il subsiste un "comma pythagoricien", différence entre 7 octaves et 12 quintes) : (3/2)¹² est différent de 2⁷ .

IV/ La gamme tempérée

1) Présentation

La gamme musicale qui est celle que nous utilisons de nos jours, a été élaborée à la fin du XVIIe siècle par A. Werckmeister (1645-1706). Quelques années plus tard, elle s'est imposée à l'ensemble de la musique européenne, en particulier sous l'impulsion de J.S. Bach et de J.-P. Rameau.

La gamme tempérée est construite en divisant l'octave en 12 intervalles égaux de valeur t_1/2 appelés demi-tons

Soient f₁, f₂ ..., f₁₂ les fréquences successives séparées par un intervalle d'un demi-ton. Nous avons donc f₂/f₁=t_1/2 et  f₁₂/f₁ = (f₁₂/f₁₁)*(f₁₁/f₁₁₀)*(f₁₀/f₉)*(f₉/f₈)*(f₈/f₇)*(f₇/f₆)*(f₆/f₅)*(f₅/f₄)*(f₄/f₃)*(f₃/f₂)*(f₂/f₁)=(t_1/2)¹²=2

Ainsi, la valeur du demi-ton est égale à 2 ^1/12 . Le ton est un intervalle de 2 demi-tons: il vaut 2^(2/12)

Pour la gamme de Do3 médium, les notes sont séparées à partir de celle du Do3 par des intervalles de ton et demi-ton : do (1 ton) ré (1 ton) mi (1/2 ton) fa (1 ton) sol (1 ton) la (1 ton) si (1/2 ton) do

2)Calculs

Q1) Complétez le tableau ci-dessous :

- en exprimant les fréquences des différentes notes,  f₂ , f₃ ……….en fonction de f₁

_- en calculant les fréquences  des différentes notes comprises entre le do₃ et le do₄ , sachant que la hauteur du La₃ est fixée (arbitrairement) à 440,0Hz

note	Do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
f j en fonction de f1
fréquence fj

Q2)Dans la gamme de Pythagore quel est l'intervalle de quinte entre le sol₃ et le do₃ ?

Q3)Faire le même calcul pour la gamme tempérée entre le sol₃ et le do₃

Q4)Pourquoi dit-on que la consonance de quinte dans la gamme tempérée est pratiquement parfaite ?

3)Les notes altérées :

Lorsque les notes sont altérées, par un (#) ou un bémol (b), leur hauteur est diminuée ou augmentée d'un demi-ton .

Q5)Quelle est la fréquence du sol3# dans la gamme tempérée .

Q6)Montrer que la fréquence du ré# est égale à celle du mib dans la gamme tempérée .

Q7)On transpose une partition en changeant sa tonalité : cette opération consiste à modifier toutes les notes d'un même intervalle. La tonalité d'une œuvre est augmentée de 2 tons . Par quelle note le do3 est-il remplacé

V/Harmonie :

a)Principe :

L'oreille humaine est sensible au rapport entre les fréquences de deux notes jouées simultanément. Lorsqu'un instrument émet un La₃, de fréquence fondamentale f₁ = 440 Hz, l'oreille perçoit un son de fréquence f₁ et, sui­vant l'instrument, des harmoniques de fréquence f₂ = 2 f₁, f₃ =3 f₁, etc… Quand une deuxième note est émise, un La₄ de fréquence fondamentale f'₁= 880 Hz, l'oreille entend déjà ce son dans les harmoniques du La₃ il en est de même du deuxième harmo­nique du La₄ de fréquence f'₂=2f'₁=1760 Hz=4*440=4f₁.

Plus les harmoniques de deux notes ont des fré­quences communes, plus ces notes sont harmo­nieuses à l'oreille. Elles sont consonantes.

On parlera d'harmonie entre deux notes lorsque le rapport des fréquences de leur fondamental est  "simple". Le rapport le plus simple est celui qui a pour valeur 2. Les deux notes sont dites à l'octave. Jouées simultanément, ces deux notes semblent n'en faire qu'une.

lI existe d'autres rapports simples représentés dans le tableau ci-dessous :

Rapport des fréquences fondamentales	Position par rapport à la note de référence	Nom	Exemple
2/1	8	Octave	Do-Do
3/2	5	Quinte	Do-sol
4/3	4	Quarte	Do-Fa
5/4	3	Tierce majeure	Do-mi

Ainsi, sur la représentation ci-contre, le rapport de la fréquence du fondamental du son (c) sur celle

du fondamental du son (a) est égal à 3/2. Nous avons vu que le son (c) est dit à la quinte du son (a). On constate égale­ment que la fréquence du 3e harmonique du son (a) est égale à celle du 2eme harmonique du son (c), Deux notes à la quinte se distinguent mieux, se fondent moins, que deux notes à l'octave, car elles ont moins d'harmoniques en commun.

Analyse spectrale comparée de 5 sons harmonieux. Le son (a) est choisi comme référence .

b)Exemples de quelques accords harmonieux avec trois notes de la gamme tempérée

*accord (Do, Sol, Ré) : les notes sont séparées deux à deux par une quinte.

En effet : f_sol3/f_do3 = 392/261,63 = 1,5  et  f_re4/f_sol3 = 587,33/392 = 1,5

Deux exemples de réponses : à deux par une quinte.

*accord (Do,mi,sol) : le Do et le Mi sont à la tierce l’un de l’autre. Le Do et le Sol sont à la quinte l’un de l’autre. En effet :f_mi3/f_do3 = 329,63/261,63 = 1,26  et 5/4 = 1,25 . Ces notes sont à la tierce l’une de l’autre.

f_sol3/f_do3 = 392/261,63 = 1,5 . Ces notes sont à la quinte l'une de l'autre .

VI/Exercice :

Exercice 14 page 73

SPE SPC - ACOUSTIQUE MUSICALE : LES GAMMES  - Correction

1)

note	Do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
f j en fonction de f1	f1	2(2/12) f1	2(4/12) f1	2(5/12) f1	2(7/12) f1	2(9/12) f1	2(11/12) f1	2 f1
fréquence fj	261,6	293,7	329,6	349,2	392	440	493,9	523,3

2)gamme de Pythagore : sol3/do3 = 391,11/260,74=1,5 = 3/2

3)gamme tempérée : sol3/do3 =392/261,6 =1,498  très proche de 1,5 .

4)Dans la gamme tempérée, la quinte n'est pas tout à fait égale à 3/2, néanmoins l'écart est très faible

(0,1%), la consonance de quinte de la gamme tempérée est donc pratiquement parfaite

5)La fréquence du Sol3# dans la gamme tempérée vaut 2^(1/12)*f _sol = 2^(1/12)*392 = 415,3Hz

6)Le ré# est un demi ton au-dessus du ré : sa fréquence est 293,7*2^(1/12)= 311,1 Hz

Le mib est un demi-ton au-dessous du mi : sa fréquence est 329,6/(2^(1/12))=311,1 Hz

Il s'agit bien de la même fréquence pour les deux notes .

7)Le do3 sera remplacé par le mi3