I/Oscillateur mécanique :

Oscillateur mécanique :

Dans un plan horizontal, on considère un système oscillant formé d'un mobile autoporteur lié à deux points fixes par l'intermédiaire de deux ressorts élastiques identiques, de masses négligeables, et de même axe . Le système initialement au repos est écarté de sa position d'équilibre en déplaçant le centre d'inertie G du mobile le long de l'axe des deux ressorts . L'ensemble des deux ressorts est équivalent à un ressort de constante de raideur k = 15,4 N.m^-1 .

On rappelle que :

* les notations représentent respectivement les dérivées première et seconde de y par rapport au temps .

* L'élongation y d'un oscillateur linéaire sans amortissement satisfait à l'équation différentielle , dont les solutions y(t) sont sinusoidales de pulsation w

Une table à numériser permet la détermination des positions successives y de G dans un repère lié à la table ; la trajectoire de G est portée par l'axe y'y. Un logiciel de traitement de données permet d'afficher les points correspondant aux couples (t,y), (t,), ou toute autre fonction souhaitée, et d'en représenter les courbes.

1- Première partie

Dans toute cette partie, le mobile a pour masse m=220 g et le système considéré est non amorti.

a) La figure 1 représente l'ensemble des points d'enregistrement (t,y). Ces points se situent sur une courbe d'allure sinusoïdale. Déterminer graphiquement la valeur de la période T et de l'élongation maximale Y_m de y . A partir de la valeur de T , calculer la pulsation w de cet oscillateur .

fig1 fig 2

b)La figure 2 ci-dessus , représente les couples . Montrer que ce graphique est en accord avec l'équation différentielle proposée . Que représente le coefficient directeur de la droite support de cet ensemble de points ? Déterminer graphiquement sa valeur (attention aux unités ) et en déduire l'ordre de grandeur de la pulsation w de l'oscillateur .

c)Les valeurs expérimentales de la pulsation déterminées en a/ et b/ sont-elles compatibles avec la valeur théorique de la pulsation propre w₀ = de cet oscillateur ?

d)Ecrire la relation de conservation de l'énergie E pour un oscillateur se déplaçant en translation sans frottement . Montrer qu'elle peut s'écrire où C est une constante qui s'exprime en fonction de k et de E .

Exprimer C en fonction de Y_m et calculer sa valeur

e)Pour traduire la conservation de l'énergie sur un graphe , on peut utiliser les représentations des couples :

Reporter sur votre feuille les deux représentations choisies parmi les trois proposées, en précisant les grandeurs portées sur les axes .

2- Deuxième partie

Les ressorts étant inchangés, un dispositif d'amortissement est désormais fixé sur le mobile . On réalise un nouvel enregistrement représenté sur la figure 3

En utilisant deux valeurs consécutives de la valeur maximale de y, donner un ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur au cours d'une période .

Quelles sont les causes physiques de la dissipation ?

CORRECTION :

Première partie :

a)La durée entre deux maxima consécutifs correspond à une période T=0,75 s

L'amplitude est égale à l'élongation maximale autour de la position d'équilibre : l'enregistrement donne y_m=40 mm . La pulsation est donnée par w= 2p/T=8,3 rd.s^-1 .

b)L'équation différentielle s'écrit aussi , autrement dit d₂y/dt² est une fonction linéaire de y , ce qui correspond bien à la figure 2 . le coefficient directeur de la droite correspondante est négatif et égal à -w² . Soient les points A (y_A=-30 mm et (d²y/dt²)_A=2 m.s^-2 et B (y_B=-30 mm et (d²y/dt²)_B= -2 m.s^-2 ) de la droite . Le coefficient directeur est :

Nous en déduisons

c) . Cette valeur est compatible avec les deux valeurs précedemment trouvées .

d)Les oscillations ne sont pas amorties: le système est par conséquent conservatif et son énergie mécanique est constante .

. Or et donc

d'où nous déduisons . C'est l'expression cherchée en posant : C=2E/k.

Or l'énergie est aussi égale à E=1/2ky_m² (quand y=y_m dy/dt=0) et par conséquent C=y_m²

AN C= 1,6.10^-3 m² .

e)*Le système étant conservatif ,E= cste quelque soit t . Dans la représentation (t,E) cela correspond au graphe du milieu de l'énoncé .

*La relation s'écrit aussi . Dans la représentation , cela correspond au graphe de gauche (fonction affine à coefficient directeur négatif)

Deuxième partie:

Sur l'enregistrement , les deux premières valeurs consécutives de la valeur maximale de y sont y_1,m=35 mm et y_2,m =30 mm .

Quand y(t) est maximale , dyLdt est nulle et par conséquent E=1/2ky_m² (énergie cinétique nulle)

E₁=1/2 ky_m,1² = 9,4.10^-3 J E₂=1/2 ky_m,2² = 7.10^-3 J

La variation relative d'énergie mécanique sur une durée correspondant à une pseudo-période est donc : (E₁-E₂)/E₁ = 25 %

Remarque : Même pour un système non conservatif , nous pouvons toujours écrire E=E_p+E_c .