TP – TS : La dilatation du temps

1.Les muons : des particules relativistes

Document 1 :

Le muon est, selon le modèle standard de physique des particules, le nom donné à une particule élémentaire de charge négative. Le muon a les mêmes propriétés physiques que l'électron, mais avec une masse 207 fois plus grande (c'est pourquoi on l'appelle aussi électron lourd) et possède un spin 1/2. Les muons, tout comme les électrons et les tauons, appartiennent à la même famille de fermions, les leptons. Les muons sont notés μ^-. L'anti-muon, l'anti-particule associée au muon est notée μ⁺ et est chargée positivement.

Sur Terre, les muons sont produits par la désintégration de pions chargés. Les pions sont créés dans la haute atmosphère par des rayons cosmiques et ont un temps de vie faible (environ deux microsecondes). Cependant, les muons ont une grande énergie, ainsi l'effet de dilatation temporelle décrite par la relativité restreinte les rend observables à la surface de la Terre.

(Wikipédia - Encyclopédie libre – Muon)

Document 2 :

Les muons ont une durée de vie courte (environ deux microsecondes), mais on peut les stocker ! En effet, cette durée de vie est mesurée « du point de vue » du muon (dans son référentiel de repos). D’après la théorie de la relativité restreinte, si ce muon se déplace à une très grande vitesse par rapport à un observateur, ce dernier mesurera des temps plus longs que ceux « vus du muon ». Ainsi, les muons cosmiques, très rapides, ont une durée de vie nettement supérieure aux quelques microsecondes attendues quand on mesure celle-ci dans le référentiel terrestre. De même, en faisant circuler des muons à grande vitesse dans des anneaux de stockage, les chercheurs peuvent les conserver sur des périodes des dizaines de fois plus longues que leur durée de vie !

http://quarks.lal.in2p3.fr/afficheComposants/Images/clicmuon.pdf

Document 3 :

Dilatation de la durée de vie des muons: les traits verticaux représentent les trajectoires parcourues par les muons avant de se désintégrer. D'après les prévisions de la mécanique classique (figure de droite) les muons se désintègrent pratiquement tous dans la haute atmosphère .En leur prévoyant une durée de vie beaucoup plus longue , la théorie relativiste explique leur détection jusqu'au niveau de la mer .

Questions :

Q1)Quel est la valeur moyenne de la durée de vie des muons ?

Q2)Quelle distance devraient-ils parcourir en moyenne dans le cadre de la mécanique classique si leur vitesse est voisine de 0,995c ?

Q3)Déterminer la valeur moyenne de la durée de vie des muons mesurée dans le référentiel terrestre dans le cadre de la mécanique relativiste.

Q4)En déduire la distance moyenne parcourue réellement par les muons dans l’atmosphère.

Q5)Expliquer la phrase du document 1 : « …ainsi l'effet de dilatation temporelle décrite par la relativité restreinte les rend observables à la surface de la Terre. »

2)Le système GPS (Global Positionning System)

Voir le site du CNDP : http://www2.cndp.fr/themadoc/

Les idées d’Einstein sur le repérage des événements et la synchronisation des horloges se sont largement réalisées dans les systèmes de navigation par satellites. Le plus connu est le GPS qui est constitué d’une constellation de 24 satellites en orbites à environ vingt mille kilomètres de la Terre.

Ces satellites possèdent des horloges atomiques qui ont été préalablement synchronisées et émettent de manière continue des ondes radios codées. Votre récepteur au sol est capable de déterminer avec précision l’heure exacte à laquelle le signal a été envoyé par un satellite. On en déduit la distance satellite-récepteur en multipliant par la vitesse de la lumière la différence entre le temps d’émission avec le temps de réception. En principe, les signaux de trois satellites suffisent pour déterminer les trois inconnues de position du récepteur, c’est-à-dire la latitude, la longitude et l’altitude. En réalité, l’horloge propre au récepteur n’est pas aussi précise que les horloges atomiques des satellites et elle peut se désynchroniser par rapport à ces dernières. Or un décalage d’un millionième de seconde entraîne une erreur sur la position de trois cents mètres. Cette erreur de synchronisation est éliminée grâce au signal d’un quatrième satellite. En pratique, l’erreur de localisation après calculs atteint quelques mètres pour les GPS commerciaux.

Il convient cependant de noter plusieurs subtilités qui sont au cœur de la théorie de la relativité restreinte. D’abord les satellites GPS, de par leurs altitudes, ne sont pas en orbites géostationnaires : vus du sol, ils sont en mouvement dans le ciel. Transformer des durées en distance n’a de sens uniquement parce que la vitesse de la lumière ne dépend pas de la vitesse de la source. Ensuite, les horloges des satellites se désynchronisent par rapport au sol : elles vivent en effet au rythme du temps propre du satellite qui diffère du rythme des horloges terrestres. À une altitude de 20 000 km, le satellite a une vitesse d’environ 3,85 km/s par rapport à la Terre, ce qui entraîne un retard de 82 picosecondes par seconde entre l’horloge de bord et les horloges du sol. Le retard cumulé est donc d’environ 7,1 microsecondes par jour.

À cela s’ajoute un effet de relativité générale(1) : en vertu de l’équivalence masse-énergie révélée par la formule E = mc² le champ gravitationnel de la Terre agit sur la lumière. En effet, celle-ci est constituée de grains élémentaires, les photons, certes sans masse mais possédant une énergie. Quand un photon gagne de l’altitude, sa fréquence diminue : on montre que l’horloge satellisée gagne près de 46 microsecondes par jour par rapport au sol. Les deux effets cumulés, 39 microsecondes d’avance par jour, provoqueraient, s’ils n’étaient pas compensés, une erreur de douze kilomètres par jour sur la localisation !

(1)plus précisément, le principe d’équivalence (on peut confondre localement l’effet d’un champ de gravitation avec celui d’une force d’inertie) suffit.

Questions :

Q6)Quelle est la nature des ondes émises par les satellites utilisés pour le système GPS ? Quelle est leur vitesse de propagation ?

Q7)Evaluer le temps minimal de propagation du signal entre un satellite et un utilisateur terrestre.

Q8)Justifier l’affirmation du texte : « Or un décalage d’un millionième de seconde entraîne une erreur sur la position de trois cents mètres ».

Q9)Comment expliquer que les horloges des satellites « vivent en effet au rythme du temps propre du satellite qui diffère du rythme des horloges terrestres » ?

Q10)Exprimer le temps Δt mesuré par l’horloge du satellite par rapport au temps Δt₀ mesuré par une horloge terrestre.

Q11)En utilisant l’approximation suivante : si x petit devant 1, (1+ x)^α ≈ 1+ α x

montrer qu’on peut écrire que : avec

Q12)Retrouver par le calcul le retard de 82 picosecondes évoqué dans le texte.

Durée de vie des muons – Correction

1)Quel est la valeur moyenne de la durée de vie des muons ?

La durée de vie propre de la particule (c'est à dire son temps moyen d'existence « à sa propre montre ») peut être mesurée en laboratoire. On constate que cette durée de vie propre est de l’ordre de Δt₀ = 2 μs.

2)Quelle distance devraient-ils parcourir en moyenne dans le cadre de la mécanique classique si leur vitesse est voisine de 0,995c ?

Si les durées étaient invariantes par changement de référentiel, pendant cette durée de vie propre, le muon parcourrait : d = Δt₀ × 0,995 c = 600 m environ.

3)Déterminer la valeur moyenne de la durée de vie des muons mesurée dans le référentiel terrestre dans le cadre de la mécanique relativiste.

Dans le référentiel terrestre, la durée moyenne de vie du muon est Δt = γ Δt₀,

avec γ = (1 – 0,995²)^-0,5 = 10 donc Δt= 20 μs.

4)En déduire la distance moyenne parcourue réellement par les muons dans l’atmosphère.

Il parcourt donc une distance moyenne d = Δt × 0,995 c = 6000 m environ.

5)Expliquer la phrase du document 1 : « …ainsi l'effet de dilatation temporelle décrite par la relativité restreinte les rend observables à la surface de la Terre. »

Sans considération relativiste, le nombre de muons atteignant la surface de la Terre devrait être négligeable car ils sont produits dans la haute atmosphère avec une courte durée de vie.

L’effet de dilation du temps prévu par la théorie de la relativité permet d’expliquer pourquoi le flux de muons est parfaitement détectable sur Terre au niveau de la mer.

GPS -correction

6)Quelle est la nature des ondes émises par les satellites utilisés pour le système GPS ? Quelle est leur vitesse de propagation ?

Les ondes émises sont des ondes électromagnétiques, elles se propagent à la vitesse de la lumière.

7)Evaluer le temps minimal de propagation du signal entre un satellite et un utilisateur terrestre.

La distance minimale est de l’ordre de 20000km, le temps de propagation est donc :

donc t = 67 ms

8)Justifier l’affirmation du texte : « Or un décalage d’un millionième de seconde entraîne une erreur sur la position de trois cents mètres ».

A la vitesse de la lumière : d = c× t = 3×10⁸ × 1×10^-6 = 3×10² = 300 m

9)Comment expliquer que les horloges des satellites « vivent en effet au rythme du temps propre du satellite qui diffère du rythme des horloges terrestres » ?

Le temps mesuré par une horloge embarquée dans un satellite est appelé « temps propre » du satellite. Le mouvement du satellite par rapport à la Terre est à l’origine d’une différence de temps conformément à la théorie de la relativité restreinte. Pour un observateur terrestre, le temps mesuré par une horloge dans le satellite est plus long que celui mesuré par une horloge terrestre qui mesure le temps propre sur Terre.

10)Exprimer le temps Δt mesuré par l’horloge du satellite par rapport au temps Δt₀ mesuré par une horloge terrestre.

Le temps Δt mesuré par l’horloge du satellite à vitesse v par rapport au temps Δt₀ mesuré par une horloge terrestre est :

11)En utilisant l’approximation suivante : si x petit devant 1, (1+ x)^α ≈ 1+ α x

montrer qu’on peut écrire que : avec

avec << 1 car v << c

Si x << 1 alors (1+ x)^α ≈ 1+ α x

Avec , on peut écrire que :

En posant : , il vient :

12)Retrouver par le calcul le retard de 82 picosecondes évoqué dans le texte.

Avec v = 3,5 km.s^-1, c = 3×10⁸ m.s^-1 et Δt₀= 1s, on a :

Ainsi la durée perçue sur Terre sera augmentée de 8,23×10^-11s = 82,3×10^-12s = 82,3 picosecondes, comme le dit le texte.