TP P2 : Mouvement du centre d'inertie

I/Objectifs :

*Mettre en évidence le caractère particulier du mouvement du centre d'inertie d'un solide .

*Construire des vecteurs vitesse

*Mettre en évidence le caractère relatif du mouvement .

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II/Trajectoire du centre d'inertie :

a)Centre d'inertie d'un disque

Un disque en plexiglas est lancé sur une table soufflante horizontale . Le souffle d'air permet de limiter les frottements entre le disque et la table .

Il apparaît que le centre du disque a un mouvement plus simple que les autres : un mouvement rectiligne uniforme . Ce point est le centre d'inertie du disque .

b)Centre d'inertie d'un solide constitué de deux solides de centres d'inertie G1 et G2

Etant donné un solide S constitué de deux solides S1 et S2 de centres d'inertie G1 et G2 et de masses m1 et m2 , on peut montrer que le centre d'inertie G du solide S est le barycentre de G1 et G2 affectés des coefficients m1 et m2 , c'est à dire que :

Q1)Montrer que la relation précédente permet de montrer que :

*G appartient au segment G1G2

*

c)Construction de la trajectoire du centre d'inertie de S :

Le solide S est constitué de deux mobiles autoporteurs cylindriques . Chaque mobile (S1 ou S2) est équipé au centre , dans sa partie inférieure d'une pointe , qui permet d'enregistrer la position du centre d'inertie du mobile (le papier est "brulé" par des décharges électriques) à intervalles de temps égaux .

Le solide S est lancé sur la table et les trajectoires des centres d'inertie G1 de S1 et G2 de S2 sont enregistrées . Le document joint est un exemple d'enregistrement .Celui-ci a été établi sur une table horizontale .

Q2)Sur chacun des documents nommez les différentes positions des deux centres d'inertieA0, A1 ,A2 ....(pour G1). , B0 ,B1,B2 ...(pour G2).

Q3)En utilisant deux couleurs différentes , tracer les trajectoires de G1 et G2 sur chacun des deux documents .

Q4)Les deux mobiles ont la même masse .Construire les positions successives de G, centre d'inertie de l'ensemble : C0 , C1 , C2 .......

III/Exploitation du document

Q5)Tracer la trajectoire de G sur le document . Quelle est la nature de cette trajectoire ? Le centre d'inertie de S a t-il un mouvement rectiligne ?

Q6)La durée entre deux pointages est égale à t =60 ms .Quelle est la durée de l'enregistrement (entre le premier point et le dernier ) ?

Q7)Calculer la vitesse moyenne du centre d'inertie , où t15-t0 est la durée de l'enregistrement .

Q8)Un mouvement est uniforme si la vitesse est constante au cours du temps . Le mouvement de G est-il uniforme ? Justifiez clairement votre réponse .

Q9)Enoncez le principe d'inertie .Le mouvement du centre d'inertie G du système S vérifie t-il le principe d'inertie ?Le système est-il pseudo-isolé ? Justifiez clairement cette dernière réponse .

IV/ Vecteur vitesse :

a)Vitesse moyenne et vitesse instantanée :

Une vitesse moyenne est égale au rapport de la distance parcourue sur la durée pendant laquelle est parcourue cette distance .

Comment mesurer une vitesse instantanée si on ne dispose pas de tachymètre ?

 

 

est la vitesse moyenne entre t0 et t2. est la distance mesurée sur la trajectoire.

Si l'intervalle de temps t2-t0 est suffisamment petit , nous admettrons que la vitesse instantanée en t1 : V(t1) est telle que V(t1) = Vm(t0,t2) . En général , on peut dans ce cas confondre la mesure du segment A0A2 et la mesure de l'arc , si bien que la vitesse instantanée peut s'écrire :

Q10)A partir du document , déterminer en cm.s-1 la vitesse instantanée du centre d'inertie G du solide S aux instants t2  et t12 .Ce résultat est-il en accord avec votre réponse à la question Q8 ? .

b)Vecteur vitesse :

Il peut être intéressant de construire un vecteur vitesse instantanée tel que :

Ce vecteur a la direction du segment A0A2 , le sens du mouvement (point se déplaçant de A0 vers A2 ) et a pour norme , ce qui la vitesse instantanée à l'instant t1 .

Pour construire ce vecteur :

*on trace le segment A0A2

*on trace une demi-droite dont l'origine est en A1 et qui est parallèle au segment A0A2 .

*on choisit une échelle des vitesses . Choisissons par exemple d'associer à 1 cm.s-1 ------> 0,12 cm :Pour V(t1) = 20 cm.s-1 , le vecteur vitesse sera représenté par une flèche de 20*0,12 = 2,4 cm de longueur .

Q11)Sur le document , construire les vecteurs vitesse du centre d'inertie G aux instants t2 et t12 en choisissant une échelle adaptée , que l'on précisera (On présentera clairement le détail des calculs sur la copie).. Le vecteur vitesse de G est-il constant au cours du mouvement ?

V/Caractère relatif du mouvement :

a)Protocole :

En utilisant le document :

1-Sur une feuille de papier calque , tracer deux axes orthogonaux en plaçant l'origine au centre de la feuille .

Soit O' l'origine commune de ces axes .

2-Faire coincider O' et A0 . S'assurer que les axes de la feuille de calque et du document (enregistrement) sont bien parallèles deux à deux .

3-Par transparence , porter C0 sur le papier calque .

4-Faire coïncider O' et A1 ............

Répéter les mêmes opérations qu'en (2) et (3) et reporter C1 sur le calque .

Ce protocole nous permet de construire la trajectoire de G par rapport à un repère R' centré en G1 .

b)Trajectoire de G par rapport à G1 :

 

Q12) Quelle est la nature de la trajectoire de G par rapport à G1 ? Le mouvement de G dans le nouveau repère R' centré en O' (O' est confondu à tout instant avec G1) est-il uniforme ?

Q13)Comparer les mouvements de G par rapport au repère R' et par rapport à un repère terrestre .

c)Vitesse angulaire :

 

 

 

 

Etant donné un point M qui décrit une trajectoire circulaire:

est la vitesse angulaire de M à l'instant t2

Q14)Si q est exprimé en degrés et t en secondes , quelle est l'unité de w ?

Q15) On s'interresse au mouvement de G dans le repère R' . Déterminer la vitesse angulaire de G aux instants t2 et t7 . Conclure

CORRECTION :

1)La relation barycentrique peut aussi s'écrire : d'où :

, soit finalement lorsqu'on passe aux normes :

c.q.f.d.

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2)voir document

3)voir document

4)Comme les masses des deux mobiles sont identiques, GG1=G1G2/2 , autrement dit , C0 est le milieu de A0B0, C1 est le milieu de A1B1 …………..

5)La trajectoire de G est une droite , autrement dit le centre d'inertie de S a un mouvement rectiligne .

6)Entre C0 et C15 il y a 15 intervalles de 60 ms : t15-t0= 15*60 = 900 ms .

7)C0C15 = 17 cm et donc Vm= 17 cm / 0,9 s = 18,5 cm.s-1 .

8)Le mouvement de G est bien uniforme . L'intervalle entre deux pointages successifs est toujours le même (C0C1=C1C2=C2C3………) et comme l'intervalle de temps entre deux pointages est toujours le même aussi (60 ms) , la vitese de G est constante . G a par conséquent un mouvement uniforme .

9)Le centre d'inertie d'un système persiste dans sont état de repos ou de mouvent rectiligne uniforme lorsque le système est isolé ou pseudo- isolé .Or ici , le système constitué des deux mobiles est bien pseudo isolé lorsque la table est horizontale et en l'absence de frottements puisque le poids de l'ensemble et l'action de la table sur les mobiles se comprensent ():

10) ;

Ce résultat est bien en accord avec la réponse à la question Q8 (vitesse constante)

11)Choisissons l'échelle de vitesse : 20 cm.s-1 ------->2,5 cm .

Les deux vecteurs seront représentés par une flèche de 19,1/20*2,5 = 2,3 cm de longueur (voir document) .Ces deux vecteurs sont égaux (même direction , même sens , même norme).

12)G décrit un cercle par rapport à un repère centré sur G1 .La distance entre deux points successifs étant constante (la durée entre deux pointages succesifs est constante), nous en déduisons que le mouvement de G dans le nouveau repère R' est uniforme .

TELECHARGER  LA  TRAJECTOIRE DE G PAR RAPPORT A  R'

13)les trajectoires de G dépendent du repère : ce ne sont pas les mêmes dans les deux repères .

14)w s'exprime en rad.s-1 .

15)w(t2)= (q3-q1 peut être mesuré avec un rapporteur). Nous avons  q13-q11=69° et donc w(t2)=w(t12)=10 rad.s-1. Ce résultat est tout à fait en accord avec ce qui précède puisque G a un mouvement uniforme .